在三角形ABC中,已知a+b=6,c=2根号3,且 4sin^2(A+B)/2-cos2C=7/2

题目

在三角形ABC中,已知a+b=6,c=2根号3,且 4sin^2(A+B)/2-cos2C=7/2
求角C的大小,求△ABC的面积

答案

sin(A+B)/2=sin[π/2-C/2]=cosC/2
cos²C/2=1/2(1+cosC)
∵4sin^2(A+B)/2-cos2C=7/2
∴4*1/2(1+cosC)-(2cos²C-1)=7/2
∴4cos²C-4cosC+1=0
解得cosC=1/2
∵C为三角形内角
∴C=60º
∵a+b=6
两边平方：
a²+b²+2ab=36 ①
c=2√3
根据余弦定理：
c²=a²+b²-2abcosC
∴12=a²+b²-ab ②
①②==> ab=8
∴SΔ=1/2absinC=1/2*8*√3/2=2√3