已知多项式(1+x)+(1+x)^2+L+(1+x)^n=a0+a1x+L+anx^n,且a1+L+an=120,则n（nI(在上面有^）N的正整数）的一个可能值为

题目

已知多项式(1+x)+(1+x)^2+L+(1+x)^n=a0+a1x+L+anx^n,且a1+L+an=120,则n（nI(在上面有^）N的正整数）的一个可能值为

答案

在等式(1+x)+(1+x)^2+...+(1+x)^n = a0+a1x+...+anx^n中取x = 0,
得1+1^2+...+1^n = a0, 即a0 = n.
再在其中取x = 1, 得2+2^2+...+2^n = a0+a1+...+an, 即a0+a1+...+an = 2^(n+1)-2.
故120 = a1+...+an = 2^(n+1)-2-n.
只要求2^(n+1)-2-n = 120的正整数解.
对n ≤ 5, 有2^(n+1)-2-n ≤ 2^6 < 120.
对n = 6, 可验证2^(n+1)-2-6 = 120, 即6是一个可能值.
对n ≥ 7, 可用数学归纳法证明2^(n+1) > n+122.
因此n = 6是唯一可能值.