一个球与一个正三棱柱的两个底面和三个侧面都相切,若棱柱的体积为48√3,求球的表面积及体积

题目

一个球与一个正三棱柱的两个底面和三个侧面都相切,若棱柱的体积为48√3,求球的表面积及体积

答案

首先,设内切球的半径为R.
1)由俯视图看（正上方向下）,半径为R的圆与正三角形ABC三边相切（如图）,而正三角形的重心就是相切圆的圆心O,因此根据三角形中垂线定理
AO=2R ,OD=R AD=3R,因为角C=60度,可计算出三角形边长为2R√3,
则三角形ABC面积 S = 1/2 * 2R√3 * 3R
                  =3√3 * R^2
2）因为球体与三棱柱上下两底面相切,因此可以判定三棱柱的高即为球体的直径=2R
3)正三棱柱体积V= S * H = 3√3 * R^2 * 2R
                       = 6√3 * R^3
                       =48√3
由此可计算出内切球的半径R=2
4)内切球的表面积S = 4*∏*2*2=16∏
  内切球的体  积V = 4/3*∏*2*2*2=32/3∏