函数F（X）＝AX的立方+BX的平方+CX

题目

函数F（X）＝AX的立方+BX的平方+CX
在点X0处取得极大值为5,其导函数Y＝F（X）的图象经过点（1,0）（2,0）
⑴求X0的值.
⑵求A,B,C的值.

答案

对F(X)＝Ax^3+Bx^2+Cx 求导数,得
F'(x) = 3Ax^2 +2Bx+C
因导函数Y＝F（X）的图象经过点（1,0）（2,0）,所以原函数的极值点为
x1=1,x2=2
令F'(x)=0
则有
3A+2B+C=0
12A+4B+C=0
·若x=1为极大值点,则
F(1)=A+B+C=5
解以上三个方程组成的方程组,得
A=2
B=-9
C=12
所以导函数为 y=f(x) = 6x^2-18x+12
在区间 (-∞,1)上 导函数 >0
在区间(1,2)上,导函数<0
所以 x=1 为极大值点.满足假设.
·若x=2为极大值点,则
F(2) = 8A+4B+2C =5
解以上三个方程组成的方程组,得
A = 5/2
B = -45/4
C = 15
所以导函数为 y=f(x) = 15/2x^2-45/2x+15
因此抛物线开口向上,
则 在区间(1,2)上,导函数 <0
在区间(2,+∞)上,导函数 >0
所以x=2 为极小值点.不满足题设.
综上,
(1)极大值点 x0 = 1
(2) A,B,C的值分别为 A=2,B=-9,C=12