已知向量a垂直于向量b,且a=2,b=1,若对两个不同时为0的实数k,t使得向量a=（t-3）乘向量b与-ka+tb垂直

题目

已知向量a垂直于向量b,且a=2,b=1,若对两个不同时为0的实数k,t使得向量a=（t-3）乘向量b与-ka+tb垂直
求k的最小值

答案

x=a+（t-3）b与y=-ka+tb垂直,
所以,x*y=0（*代表点乘）,
x*y=[a+（t-3）b]*[-ka+tb]=-k|a|^2+[-k(t-3)+t]a*b+t(t-3)|b|^2=0
因为|a|^2=4,|b|^2=1,a*b=0
所以,-4k+t^2-3t=0
即k= (1/4)t^2-(3/4)t
= (1/4)(t-3/2)^2-9/16,
∴当t=3/2时,k的最小值是-9/16.