设3阶对称矩阵A的特征值分别是λ1=-53,λ,2=λ3=63,与特征值λ1=53对应的特征向量为P1=(-6,-6,3)T,求A

题目

设3阶对称矩阵A的特征值分别是λ1=-53,λ,2=λ3=63,与特征值λ1=53对应的特征向量为P1=(-6,-6,3)T,求A
设3阶对称矩阵A的特征值分别是λ1=-53,λ,2=λ3=63,与特征值λ1=53对应的特征向量为P1=(-6,-6,3)T,求矩阵A.

答案

由对称矩阵A的不同属于特征值的特征向量是彼此正交的,设属于λ2=λ3的特征向量为
X=(x1,x2,x3)T,则-6x1-6x2+3x3=0
解得P1=(1,-1,0)T,P2=(1,0,2)T
令P=(P1,P2,P3),则P^-1AP=diag(-53,63,63)
所以A=Pdiag(-53,63,63)P^-1.