过抛物线y^2=4x上的定点M(x0,y0)作弦MA,MB,当MA,MB的倾斜角互为补角时,直线AB的斜率KAB=1,求定点M的坐标

题目

过抛物线y^2=4x上的定点M(x0,y0)作弦MA,MB,当MA,MB的倾斜角互为补角时,直线AB的斜率KAB=1,求定点M的坐标

答案

设M(m^2/4,m),设A(y1^2/4,y1),B(y2^2/4,y2)
MA的斜率=(y1-m)/(y1^2/4-m^2/4)=4/(y1+m),MB的斜率=(y2-m)/(y2^2/4-m^2/4)=4/(y2+m)；
MA和MB倾斜角互补,所以,两者的斜率互为相反数；
则y1+m=-y2-m
得：y1+y2=-2m
AB的斜率k2=(y1-y2)/(y1^2/4-y2^2/4)=4/(y1+y2)=4/(-2m)=1
得到m=-2
即M的坐标是(1,-2)