当X>1时,x+xlnx>k(x-1)(k属于正整数)恒成立,则正整数k的最大值为

题目

当X>1时,x+xlnx>k(x-1)(k属于正整数)恒成立,则正整数k的最大值为

答案

柯西中值定理:如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x(a,b),F'(x)不等于0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立.
因此：令f(x)=x+xlnx; F(x)=x-1
那么在(1,b) 内至少有一点ξ,使等式[f(b)-f(1)]/[F(b)-F(1)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立
即：(b+blnb-1)/(b-1)=(2+lnξ)/1=2+lnξ
(b+blnb)/(b-1)=2+lnξ+1/(b-1)
显然：ξ>1,b>ξ>1
则：(b+blnb)/(b-1)>2
由于k1恒成立
故k的最大值为2