已知点P为△ABC所在平面内一点,且PA+PB+PC=0,PA·PB=PB·PC=PC·PA=-1,则△ABC的面积为多少?

题目

已知点P为△ABC所在平面内一点,且PA+PB+PC=0,PA·PB=PB·PC=PC·PA=-1,则△ABC的面积为多少?
上面字母和0上均有向量符号
①由PA+PB+PC=0可证P为重心,但可以进而求出△ABC为正三角形吗?为什么?
②由PA·PB=PB·PC=PC·PA=-1可证P为垂心,和①组合才求出△ABC为正三角形的吗?
还有,那个面积,网上有的：
根据题意可知,该三角形是等边三角形,P点为三角形的中心,P到三个的距离都为√2,解得S=（3√2）/2
是怎样求的?是怎么来的?好像题目没有提到数据的,是由PA·PB=PB·PC=PC·PA=-1和该三角形是等边三角形求的吗?怎样求?

答案

①：由 PA+PB+PC=0   可得：P点为三角形ABC的重心

②：由 PA·PB=PB·PC=PC·PA  =>PA·PB-PB·PC= PA·PB-PC·PA  =>PB（PA-PC)=PA(PB-PC)

          =>PB·CA=PA·CB   可得：P为垂心

由①②P点既为重心（各边中线的交点）又为垂心（各边高的交点）可得：该三角形每两相邻边相等,综上可知：该三角形为等边三角形.

至于面积：

 

如图,既为等边三角形,面积被分为等三分,设PB=a且<APB=<APC=<BPC=120度

则PA·PB=a^2COS120度 =>a=√2

所以AB=根号6=> S=3*根号3/2

额：我算的：PA=PB=PC=√2啊!反正解法就是这样!解法是正确的!

希望对你有所帮助!