设向量组a1,a2,...as( s>=2)线性无关,证明

题目

设向量组a1,a2,...as( s>=2)线性无关,证明
1）a1-a2,a2-a3,...as-1-as也线性无关.
2）a1+入1as,a2+入2as,...as-1+入（s-1）as也线性无关（其中入1,入2,...入s-1为任意常数

答案

(a1-a2,a2-a3,...as-1-as) = (a1,a2,...,as)K
K =
1 0 0 ...0
-1 1 0 ...0
0 -1 1 ...0
.
0 0 0 ...1
0 0 0 ...-1
因为 a1,a2,...,as 线性无关,所以 r(a1-a2,a2-a3,...as-1-as) = r(K) = s-1.
所以 a1-a2,a2-a3,...as-1-as 线性无关.
第二个同理可证.