如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）当AE=3EF时

题目

如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=3EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．

答案

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠BAD-∠BAE=∠BCD-∠BCE，
即∠DAE=∠DCE，
在△AED和△CED中，

∠DAE＝∠DCE ∠AED＝∠CED DE＝DE

，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD=CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）当AE=3EF时，FG=8EF．    
证明：设EF=k，则AE=3k
∵△AED≌△CED，
∴CE=AE=3k，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠G=∠DAE，
又∵∠DAE=∠DCE，
∴∠DCE=∠G，
又∵∠CEF=∠GEC，
∴△CEF∽△GEC，
∴

EF

CE

＝

CE

EG

，
∴

k

3k

＝

3k

EG

，
∴EG=9k，
∴FG=EG-EF=8k，
∴FG=8EF．

（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形；
（2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=3EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=8EF．

本题考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定．

考点点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，正方形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．