已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x） （Ⅰ）证明f（0）=0； （Ⅱ）证明f(x)＝kxx≥0hxx＜0其中k和h均为常数； （Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0

题目

已知函数f（x）在R上有定义，对任何实数a＞0和任何实数x，都有f（ax）=af（x）
（Ⅰ）证明f（0）=0；
（Ⅱ）证明f(x)＝

kx x≥0 hx x＜0

其中k和h均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k＞0时，设g（x）=

1

f(x)

+f（x）（x＞0），讨论g（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值．

答案

证明（Ⅰ）令x=0，则f（0）=af（0），∵a＞0，∴f（0）=0．（Ⅱ）①令x=a，∵a＞0，∴x＞0，则f（x2）=xf（x）．假设x≥0时，f（x）=kx（k∈R），则f（x2）=kx2，而xf（x）=x•kx=kx2，∴f（x2）=xf（x），即f（x）=...

（1）令x=0代入即可得到答案．
（2）分别令a=x和a=-x代入整理即可得到答案．
（3）先表示出函数g（x），然后对其进行求导，导数大于0时单调递增，导数小于0时单调递减，导数等于0时函数取到极值点．

本题考点：抽象函数及其应用；基本不等式．

考点点评：本题主要考查函数的导数有关问题，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时函数单调递减，当导数等于0时函数取极值点．