已知四棱锥p-ABCD,底面ABCD为菱形,PA垂直平面ABCD,角ABC=60°,E.F分别是BC.PC的中点.（1）若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为2分之根号6,求二面角E

题目

已知四棱锥p-ABCD,底面ABCD为菱形,PA垂直平面ABCD,角ABC=60°,E.F分别是BC.PC的中点.（1）若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为2分之根号6,求二面角E-AF-C的余弦值?

答案

看这个
在PAD平面,过A作AH'垂直PC于H'.连接AE、AH'、EH'
提示：
棱形∠ABC＝60.所以EA⊥AC.设棱形边为a,则：AE=√3*a/2.
又∵PA⊥ABCD.∴PA⊥EA
∴EA⊥面PAC
∴EA⊥PC
又∵AH⊥PC,∴PC⊥面AEH',∴PC⊥EH'
∠EH'A为EH与平面PAD所成最大角.
AEH'为直角三角形.
tan[∠EH'A]＝AE/AH'=(√3*a/2)/AH'=√6/2
所以AH'=√2a/2
所以∠ADH'=45度.则PA=a=AC.
则：AF⊥FC.
AF=√2a/2
EF=√2a/2
AE=√3a/2
AEF为等腰三角形.
过E作EG垂直于AF,过G作GK垂直AF,交AC于K.
求得EG＝√30a/8
AG=3√2a/8
GK‖FC,AF=FC
所以GK=AG=3√2a/8
AK=AG*√2=3a/4
CK=AC-AK=a/4
角ECK＝60度.恰好CK=EC/2
所以EK⊥KC.而EK⊥PA,所以EK⊥平面AGK
所以三角形EGK是直角三角形.
cos[EGK]=GK/GE
=(3√2a/8)/(√30a/8)
=√15/5