已知圆O:x2+y2=4,过点M(1,2)的两条弦AC,BD互相垂直,则|AC|+|BD|的最大值为_.

已知圆O:x2+y2=4,过点M(1,2)的两条弦AC,BD互相垂直,则|AC|+|BD|的最大值为_.

题目
已知圆O:x2+y2=4,过点M(1,
2
)的两条弦AC,BD互相垂直,则|AC|+|BD|的最大值为______.
答案
过O作ON⊥AC于N,作OP⊥BD于P,连结OM
则矩形OPMN中,|OM|2=|OP|2+|ON|2=12+(
2
2=3
根据垂径定理,得
|AC|2=(2AN)2=4(R2-|ON|2)=4(4-|ON|2
|BD|2=(2BP)2=4(R2-|OP|2)=4(4-|OP|2
∴|AC|2+|BD|2=4[8-(|OP|2+|ON|2)]=32-4×3=20
因此,结合基本不等式得(|AC|+|BD|)2≤2(|AC|2+|BD|2)=40
当且仅当|AC|=|BD|=
10
时,|AC|+|BD|的最大值为2
10

故答案为:2
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过O作ON⊥AC于N,作OP⊥BD于P,连结OM.矩形OPMN中,算出|OP|2+|ON|2=|OM|2=3,由此结合垂径定理得到|AC|2+|BD|2=20,利用基本不等式即可证出当且仅当|AC|=|BD|=
10
时,|AC|+|BD|的最大值为2
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直线和圆的方程的应用.

本题给出圆内经过定点的互相垂直的两条直线,求它们长度和的最大值.着重考查了垂径定理、直线与圆的位置关系和运用基本不等式求最值等知识,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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