定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,其对称轴x=k,且当x=1时,函数取得极值,求函数解析式!

题目

定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,其对称轴x=k,且当x=1时,函数取得极值,求函数解析式!

答案

x=0,y=0代入得到 f(0)=2f(0) f(0)=0
y=-x代入得到 f(0)=f(x)+f(-x)-2x^2 f(x)+f(-x)=2x^2 （1）
f(x)=f(2k-x) 令y=2k,x=-x,f(2k-x)=f(-x)+f(2k)-4kx,即f(x)=f(-x)+f(2k)-4kx （2）
（1）+（2）得到 2f(x)=2x^2-4kx+f(2k)
f(x)=x^2-2kx+f(2k)/2
又当x=1时,函数取得极值,即使对称轴x=k=1
所以 f(x)=x^2-2x+f(2)/2
又f(0)=0
f(2)=0
函数解析式为 f(x)=x^2-2x