如图，在△MNP中，∠MNP=45°，H是高MQ和高NR的交点，求证：HN=PM．

题目

如图，在△MNP中，∠MNP=45°，H是高MQ和高NR的交点，求证：HN=PM．

答案

如图1∵MQ⊥PN，∠MNP=45°，
∴∠QMN=45°=∠QNM，
∴QM=QN，
∵NR⊥PM，
∴∠1+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△HQN和△PQM中，

∠1＝∠2 QM＝QN ∠MQP＝∠NQH

，
∴△HQN≌△PQM（ASA），
∴HN=PM．

根据三角形的内角和定理求出∠1=∠2，求出∠QMN=∠MNQ，推出QM=QN，证Rt△HQN和Rt△PQM，即可推出答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点，关键是推出△HQN≌△PQM，题目比较典型，是一道比较好的题目．