一阶线性微分方程的通解公式 (x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)^3,求y的通解

题目

一阶线性微分方程的通解公式 (x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)^3,求y的通解
∵(x-2)*dy/dx=y+2*(x-2)³
     ==>(x-2)dy=[y+2*(x-2)³]dx
         ==>(x-2)dy-ydx=2*(x-2)³dx
         ==>[(x-2)dy-ydx]/(x-2)²=2*(x-2)dx
         ==>d[y/(x-2)]=d[(x-2)²]
         ==>y/(x-2)=(x-2)²+C   (C是积分常数)
         ==>y=(x-2)³+C(x-2)
     ∴原方程的通解是y=(x-2)³+C(x-2)   (C是积分常数).
 
 
 

怎么从上面的式子得到下面的?

答案

(x-2)dy-ydx=(x-2)dy-yd(x-2)
联想一下,对于一个除式做微分的时候,d(f(x)/g(x))=(gdf-fdg)/(g^2)
这里的形式是类似的,因此凑这样一个形式：
[(x-2)dy-yd(x-2)]/(x-2)^2 [类比一下f(x)=y,g(x)=x-2 ]
=d[y/(x-2)]

右边的式子是d[(x-2)^2]的逆运算