已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的炫长为根号15.求抛物线的方程.

题目

已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的炫长为根号15.求抛物线的方程.

答案

设抛物线方程为：y^2=2px (p>0),
将直线方程：y=2x+1,代入y^2=2px ,
消去x,得：y^2-py+p=0,
所以y1+y2=p,y1y2=p,
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=p^2-4p
又因为y1=2x1+1,y2=2x2+1,
所以 x1-x2=1/2(y1-y2),
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=5/4*(y1-y2)^2=5/4*(p^2-4p).
截得的炫长为根号15,
即 5/4*(p^2-4p)=15,
解得：p=-2（舍去）,p=6.
所以抛物线方程为：y^2=12x .