如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为3的⊙M与射线BA相切,切点为N,且AN=3.将Rt△ABC绕A顺时针旋转120°后得到Rt△ADE,点B、C的对应点分别是
题目
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为
的⊙M与射线BA相切
,切点为N,且AN=3.将Rt△ABC绕A顺时针旋转120°后得到Rt△ADE,点B、C的对应点分别是点D、E.
(1)画出旋转后的Rt△ADE;
(2)求出Rt△ADE的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度;
(3)判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系,并说明理由.
答案
(1)如图Rt△ADE就是要画的图形
(2)连接MQ,过M点作MF⊥DE,垂足为F,由Rt△ABC可知,NE=1,
在Rt△MFQ中,解得FQ=
,故弦PQ的长度2
.
(3)AD与⊙M相切.
证明:过点M作MH⊥AD于H,连接MN,MA,则MN⊥AE,且MN=
,
在Rt△AMN中,tan∠MAN=
=
,
∴∠MAN=30°,
∵∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠MAD=30°,
∴∠MAN=∠MAD=30°,
∴MH=MN,
∴AD与⊙M相切.
(1)把三角形ABC绕A旋转120°就能得到图形.
(2)连接MQ,过M点作MF⊥DE,由AN=3,AC=4,求出NE的长;在Rt△MFQ中,利用勾股定理可求出QF,根据垂径定理知QF就是弧长PQ的一半.
(3)过M作AD的垂线设垂足为H,然后证MH与⊙M半径的大小关系即可;连接AM、MN,由于AE是⊙M的切线,故MN⊥AE,在Rt△AMN中,通过解直角三角形,易求得∠MAN=30°,由此可证得AM是∠DAE的角平分线,根据角平分线的性质即可得到MH=MN,由此可证得⊙M与AD相切.
切线的判定;作图-旋转变换.
本题主要考查切线的判定,掌握切线的性质很重要,难度不大.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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