已知向量A,向量B满足|向量A|=根号五,向量B=(1和负3)且{2A向量加向量B}垂直向量B

题目

已知向量A,向量B满足|向量A|=根号五,向量B=(1和负3)且{2A向量加向量B}垂直向量B
求向量A的坐标;求向量A和向量B的夹角 急

答案

方法一
设a=（x,y）
依题意有
(2a+b)·b=0
即 2a·b+b·b=0
即2x-6y+1+9=0
另一个方面有 x²+y²=5
解得x=1,y=2或x=-2,y=1
故a的坐标为（1,2）或（-2,1）
利用 cos夹角=a·b/|a||b|算得两种情况下都有 cos夹角=-√2/2
故夹角=135°
方法二：
设:向量A=(X,Y),则X²+Y²=5……(1)
2A向量加向量B=(2X+1,2Y-3)
∴(2X+1)*1-3*(2Y-3)=0===>X=3Y-5代入(1)得:
9Y²-30Y+25+Y²=5===>Y²-3Y+2=0===>Y1=1,Y2=2
∴向量A=(-2,1)或(1,2)
∴向量A*向量B=(-2*1-3)=-5或(1*1-2*3)=-5
又:|向量B|=√10
∴cos向量A和向量B的夹角=-5/[(√5)(√10)]=-√2/2
∴向量A和向量B的夹角=180-45=135º