如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE． （1）求证：△BCD是等腰直角三角形； （2）若BD=8厘米，求AC的长．

题目

如图所示，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．

（1）求证：△BCD是等腰直角三角形；
（2）若BD=8厘米，求AC的长．

答案

（1）证明：如图所示，
∵BD⊥BC，EF⊥AB，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∵AC⊥BC，DB⊥BC，
∴AC∥BD．
∴∠A=∠2．
∴∠A=∠3．
∴又∠ACB=∠EBD=90°，AB=DE，
∴△ACB≌△EBD．
∴BC=DB．
∴△BCD是等腰直角三角形．
（2）由△ACB≌△EBD，
∴AC=EB，
∵BD=8cm，
∴BC=8cm．
∵E是BC中点，
∴BE=4cm，
∴AC=4（cm）．