已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根．数列{bn}的前n项和为Tn，满足Tn=2-bn（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设

题目

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根．数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=2-b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记c_n=（S_n-λ）•b_n（λ∈R，n∈N^*）．若c₆为数列{c_n}中的最大项，求实数λ的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根
∴a₂+a₅=12，a₂a₅=27，
∵d＞0，∴a₂=3，a₅=9，
∴d＝

a5−a2

3

＝2，a1＝1，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）
在已知T_n=2-b_n中，令n=1，得b₁=1
当n≥2时，T_n=2-b_n，T_n-1=2-b_n-1，两式相减得，b_n=b_n-1-b_n，
∴

bn

bn−1

＝

1

2

(n≥2)，
∴bn＝(

1

2

)n−1(n∈N*)
（Ⅱ）∵Sn＝

n[1+(2n−1)]

2

＝n2，则cn＝(Sn−λ)•bn＝(n2−λ)•(

1

2

)n−1
当n≥2时，cn−cn−1＝(n2−λ)•(

1

2

)n−1−[(n−1)2−λ]•(

1

2

)n−2=

−n2+4n−2+λ

2n−1

∴c₆为数列{c_n}中的最大项，
∴有n≥7时，c_n-c_n-1≤0，
∴λ≤23，n≤6时，c_n-c_n-1≥0，
∴λ≥14
∴14≤λ≤23．