已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=_.

已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=_.

题目
已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=______.
答案

作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,
即Q在AB上,
∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ,
∵M为BC中点,
∴Q为AB中点,
∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,
∴BQ∥CD,BQ=CN,
∴四边形BQNC是平行四边形,
∴NQ=BC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CP=
1
2
AC=3,BP=
1
2
BD=4,
在Rt△BPC中,由勾股定理得:BC=5,
即NQ=5,
∴MP+NP=QP+NP=QN=5,
故答案为:5.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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