已知f(X)是定义在实数集R上的函数,且满足f(x+2)+f(x+2)f(x)+f(x)=1,

题目

已知f(X)是定义在实数集R上的函数,且满足f(x+2)+f(x+2)f(x)+f(x)=1,
f(1)=1/2,f(2)=1/4,则f(2014)=?

答案

f(x+2)+f(x+2)f(x)+f(x)=1
f[(x＋2)＋2]＋f[(x＋2)＋2]f(x+2)＋f(x+2)=1
相减的f[(x＋2)＋2]＋f[(x＋2)＋2]f(x+2)-f(x+2)f(x)-f(x)=0
（ f[(x＋2)＋2]-f(x))(f(x+2)＋1)=0
则有f[(x＋2)＋2]--f(x)=0即f[(x＋2)＋2]=f(x)
那么就有f(x)是周期为4的函数
则f(2014)=f(2＋503*4）=f(2)=1/4