已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0）上为增函数，在[0，2]上为减函数，f（2）=0． （1）求c的值； （2）求证：f（1）≥2．

题目

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上为增函数，在[0，2]上为减函数，f（2）=0．
（1）求c的值；
（2）求证：f（1）≥2．

答案

（1）f'（x）=3x²+2bx+c．
由题f'（0）=0知c=0
（2）由题又有d=-4（b+2）故由f'（x）=3x²+2bx=0两根为x1＝0， x2＝−

2b

3

．
结合题设条件有−

2b

3

≥2，即b≤-3．
又f（1）=-7-3b≥-7-3×（-3）=2
即得．

（1）函数f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上为增函数，在[0，2]上为减函数，说明f′（0）=0，求导后解方程即可
（2）由f（2）=0，得d=-4（b+2），从而f（1）=1+b+c+d=-7-3b，故只需求b的范围即可，由导函数的另一个零点不小于2，可得b的范围

本题考点：函数的单调性与导数的关系．

考点点评：本题考察了导数在函数中的应用，极值的意义，解题时要透彻理解函数与其导函数的关系，熟练运用消元化简的技巧提高解题效率