已知F1,F2是椭圆x²/100+y²/64=1的两个焦点,p是椭圆上任意一点.

题目

已知F1,F2是椭圆x²/100+y²/64=1的两个焦点,p是椭圆上任意一点.
第一问：若∠F1PF2=π/3,求△F1PF2的面积；第二问求PF1×PF2的最大值.

答案

1、a=10,b=8,c=6,
焦点坐标F1（-6,0),(6,0),
|F1F2|=12,
根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=20,
向量F1F2=PF2-PF1,
两边平方,
F1F2^2=PF2^2-2PF2·PF1+PF1^2,
|F1F2|^2=(|PF1+PF2|)^2-2|PF2|·|PF1|-2|PF2|·|PF1|cos60°,
144=20^2-3|PF1||PF2|,
|PF1||PF2|=256/3,
S△F1PF2=|PF1||PF2|sin60°/2=256/3*√3/2/2=64√3/3,
2、设|PF1|=x,
|PF1|*|PF2|=x(20-x)=-(x^2-20x+100)+100=-(x-10)^2+100,
当x=10时,有最大值为100,即|PF1|=|PF2,
∴|PF1|*|PF2|的最大值为100.