已知函数f(x)=ax+x−2x+1(a>1) (1)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明f(x)=0没有负数根.
题目
答案
(1)由于函数f(x)=a
x+
(a>1)=a
x+1-
,
而函数 y=a
x(a>1)和函数y=-
在(-1,+∞)上都为增函数,
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)假设f(x)=0有负数根为x=x
0,且x
0<0,则有f(x
0)=0,故有
ax0+1=
①.
由于函数y=a
x+1在R上式增函数,且a
0+1=2,∴
ax0+1<2.
由于函数y=
在(-1,+∞)上是减函数,当x
0∈(-1,0)时,
=3,∴
>3,
∴①根本不可能成立,故①矛盾.
由于由于函数y=
在(-∞,-1)上是减函数,当x
0∈(-∞,-1)时,
<0,
而,
ax0+1>1,∴①根本不可能成立,故①矛盾.
综上可得,①根本不可能成立,故假设不成立,故f(x)=0没有负数根.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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