已知0≤x≤1,f(x)=x2−ax+a/2(a>0),f(x)的最小值为m. (1)用a表示m; (2)求m的最大值及此时a的值.
题目
已知0≤x≤1,f(x)=
x2−ax+(a>0),f(x)的最小值为m.
(1)用a表示m;
(2)求m的最大值及此时a的值.
答案
(1)∵
f′(x)=2x−a=2(x−),
①当a>2时,
>1,f
′(x)<0,∴f(x)在[0,1]上单调递减,在x=1处取得最小值f(1)=1-a+
=
1−.
②当0<a<2时,
0<<1,令f
′(x)=0,解得x=
,列表如下:
由表格可知:f(x)在x=
处取得极小值
f()=−+,也是最小值.
③当a=2时,在x∈[0,1]上,f
′(x)=2(x-1)≤0,∴函数f(x)单调递减,在x=1处取得最小值0.
综上可知:m=
.
(2)①当0<a≤2时,m
′(a)=
−a+=
,当0<a<1时,m
′(a)>0,函数m(a)单调递增;当1<a≤2时,m
′(a)<0,函数m(a)单调递减.
可知当a=1时,m(a)取得极大值
,也是最大值;
②当a>2时,m(a)=
1−在(2,+∞)上单调递减,m(a)<m(2)=0.
综上可知:只有当a=1时,m(a)取得最大值
.
(1)通过对a分类讨论,利用导数即可求出;
(2)由表达式利用导数即可求出其最大值.
二次函数的性质.
熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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