不等式(5-a)x2-6x+a+5>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是_.
题目
不等式(5-a)x2-6x+a+5>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是______.
答案
当a≠5时,(5-a)x
2-6x+a+5图象是抛物线,它的函数值要恒为正,
则开口向上且与x轴没有交点.
解得-4<a<4,且a≠5;
另一方面,a=5时,不等式可变形为-6x+10>0,
易得a=5时不成立.
故填:(-4,4).
当a≠5时,(5-a)x2-6x+a+5就是一个二次函数,其图象是抛物线,它的函数值要恒为正数,则开口向上且与x轴没有交点.
一元二次不等式的应用;函数恒成立问题.
本题易错的地方是对a不加以讨论而错填,数形结合的数学思想是解决此类恒成立问题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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