已知某人打靶射中的概率为p,共射击n次,规定连续两次击中可得1分并重新开始统计是否射中,求得分期望

题目

已知某人打靶射中的概率为p,共射击n次,规定连续两次击中可得1分并重新开始统计是否射中,求得分期望
重新开始统计的意思是中靶-中靶-中靶不算得2分,得分后需要再次连中才能再得一分.最好写清过程,

答案

这是我同学的思路：主要用到条件期望.
设EXn为n次射击得分的期望,那么考虑n次射击.分两种情况：
一、第一次没中,此时E(Xn|第一次没中) = E(Xn-1)
二、第一次中靶,再考虑第二次.
若第二次不中,则E(Xn|一中二不中) = E(Xn-2),
若第二次中,则有 E(Xn|一中二中) = E(Xn-2)+1
所以由条件期望公式,
EXn = (1-p)E(Xn-1) +p(1-p)E(Xn-2)+pp[E(Xn-2)+1] = (1-p)E(Xn-1) +pE(Xn-2)+pp
这是一个递推公式,易知前两项,EX1 = 0,EX2 = pp,再用特征方程做就行了,或者数学归纳.