设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称距阵,证明：1.AB减BA为对称距阵 2 AB加BA为反对称距阵

题目

设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称距阵,证明：1.AB减BA为对称距阵 2 AB加BA为反对称距阵

答案

对称矩阵的含义是A与其转置矩阵A'相等:A=A'
反对称矩阵的含义是A与其转置矩阵相加为0,即A=-A'
关于矩阵的转置有脱衣原则即:(AB)'=B'A',(A+B)'=A'+B'
我们就用定义,和第三条来证明本题
AB-BA的转置:(AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'[以上为脱衣原则得到的]=(-BA)-(A(-B))[以上是由A和B的对称反对称性定义决定的]=AB-BA
因此AB-BA的转置正好和他本身相等,为对称矩阵.
AB+BA的转置:(AB+BA)'=(AB)'+(BA)'=B'A'+A'B'=-BA+A(-B)=-(AB+BA)
其中前两个等号由脱衣原则得到,第三个等号是A和B的性质决定的,最后一个等号是整理合并.
看等号两边,AB+BA的转置等于负的其本身,由定义可知,他是反对称矩阵