若有界集E满足条件:inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E},证明E是可测集

题目

若有界集E满足条件:inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E},证明E是可测集

答案

设 inf{m(G):G是开集,E包含于G}=sup{m(k):k是紧集,k包含于E} = a.
由已知条件可得：
1.存在 开集列 Gn,n= 1,2,...,使得：E包含于Gn,并且 G(n+1) 包含于Gn,m(Gn) < a + 1/n.
2.存在 紧集列 Kn,n= 1,2,...,使得：Kn包含于E,并且 Kn 包含于K(n+1),m(Kn) > a - 1/n.
定义 G0 = 所有Gn的交集.K0 = 所有Kn的并集.于是 G0,K0可测,并且 m(G0)=m(K0)=a,同时,K0 包含于E 包含于G0.===》
E = K0 + (E-K0),其中 K0 可测,E-K0 包含于零测集 G0-K0,于是也可测.所以 E可测.