A是3阶方阵,α是3维列向量,且α,Aα,A²α线性无关.知A³α＝Aα.求（A+2E）的行列式

题目

A是3阶方阵,α是3维列向量,且α,Aα,A²α线性无关.知A³α＝Aα.求（A+2E）的行列式

答案

设B=PAP^(-1),
P=(α,Aα,A²α)
则BP=PA=(Aα,A^2*α,A^3*α)
=(Aα,A^2*α,Aα)
观察上式中,Aα,A^2*α线性无关
则由矩阵的乘法运算可凑配出
B=(0 1 0,0 0 1,0 1 0)
又因为B=PAP^(-1)
所以A=P^(-1)BP
A+2E=P^(-1)BP+2E
=P^(-1)BP+2P^(-1)P
=P^(-1)（B+2E)P
所以B+2E为A+2E的相似矩阵
又因为相似矩阵具有相同的行列式
所以求（A+2E)的行列式即可化为计算（B+2E)的行列式
完毕