设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　） A.2 B.5−12 C.3+12 D.5+12

题目

设双曲线的一个焦点为F；虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）
A.

2

B.

5 −1

2

C.

3 +1

2

D.

5 +1

2

答案

设该双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
可得它的渐近线方程为y=±

b

a

x，焦点为F（c，0），
点B（0，b）是虚轴的一个端点
∴直线FB的斜率为k_FB=

0−b

c−0

=-

b

c

∵直线FB与直线y=

b

a

x互相垂直，
∴-

b

c

×

b

a

=-1，得b²=ac
∵b²=c²-a²，
∴c²-a²=ac，两边都除以a²，整理得e²-e-1=0
解此方程，得e=

1± 5

2

∵双曲线的离心率e＞1，∴e=

5 +1

2

（舍负）
故选：D

设该双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为-

b

c

．由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题给出双曲线的焦点与虚轴一端的连线与渐近线垂直，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．