设双曲线C:x2/2-y2=1的左右顶点分别为a1,a2,垂直于x轴的直线m与双曲线c交于不同的两点p,q
题目
设双曲线C:x2/2-y2=1的左右顶点分别为a1,a2,垂直于x轴的直线m与双曲线c交于不同的两点p,q
1.若直线m与x轴正半轴的交点为t,且A1P乘A2Q=1,求点t坐标
2.求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程
3.设点F(1,0)作直线l与(2)中轨迹E交与不同的两点A,B,设FA=nFB,若n属于【-2,-1】,求|TA+TB|(T为(1)中的点)的取值范围
答案
(1)由题,得A1(-2,0),A2(2,0),
设P(x0,y0),Q(x0,-y0),则A1P=(x0+2,y0),A2Q=(x0-2,-y0)
由A1P•A2Q=1,可得x20-y20=3 …①
又P(x0,y0)在双曲线上,则x202-y20=1 …②
联立①、②,解得x0=±2
由题意,x0>0,∴x0=2
∴点T的坐标为(2,0)
(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x,y)
由A1、P、M三点共线,得(x0+2)y=y0(x+2) …③
由A2、Q、M三点共线,得(x0-2)y=-y0(x-2) …④
联立③、④,解得x0=2x,y0=2yx
∵P(x0,y0)在双曲线上,∴(2x)22-(2yx)2=1
∴轨迹E的方程为x22+y2=1(x≠0,y≠0)
(3)由题意直线l的斜率不为0.故可设直线l的方程为x=ky+1代入x22+y2=1中,得(k2+2)y2+2ky-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得y1+y2=-2kk2+2 …⑤y1y2=-1k2+2 …⑥
∵FA=λFB,∴有y1y2=λ(λ<0)
将⑤式平方除以⑥式,得y1y2+y2y1+2=--4k2k2+2,即λ+1λ+2=--4k2k2+2
由λ∈[-2,-1],可得λ+1λ+2≤0
∴--4k2k2+2≤0,∴0≤k2≤27
∵TA+TB=(x1+x2-4,y1+y2)
∴|TA+TB|2=(x1+x2-4)2+(y1+y2)2=16-28k2+2+8(k2+2)2
令t=1k2+2,∵0≤k2≤27,∴716≤1k2+2≤12,即t∈[716,12]
∴|TA+TB|2=f(t)=8t2-28t+16=8(t-74)2-172
而t∈[716,12],∴f(t)∈[4,16932]
∴|TA+TB|∈[2,1328].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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