设双曲线C:x2/2-y2=1的左右顶点分别为a1,a2,垂直于x轴的直线m与双曲线c交于不同的两点p,q

题目

设双曲线C:x2/2-y2=1的左右顶点分别为a1,a2,垂直于x轴的直线m与双曲线c交于不同的两点p,q
1.若直线m与x轴正半轴的交点为t,且A1P乘A2Q=1,求点t坐标
2.求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程
3.设点F（1,0）作直线l与（2）中轨迹E交与不同的两点A,B,设FA=nFB,若n属于【-2,-1】,求|TA+TB|（T为（1）中的点）的取值范围

答案

（1）由题,得A1（-2,0）,A2（2,0）,
设P（x0,y0）,Q（x0,-y0）,则A1P=(x0+2,y0),A2Q=(x0-2,-y0)
由A1P•A2Q=1,可得x20-y20=3 …①
又P（x0,y0）在双曲线上,则x202-y20=1 …②
联立①、②,解得x0=±2
由题意,x0＞0,∴x0=2
∴点T的坐标为（2,0）
（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x,y）
由A1、P、M三点共线,得(x0+2)y=y0(x+2) …③
由A2、Q、M三点共线,得(x0-2)y=-y0(x-2) …④
联立③、④,解得x0=2x,y0=2yx
∵P（x0,y0）在双曲线上,∴(2x)22-(2yx)2=1
∴轨迹E的方程为x22+y2=1（x≠0,y≠0）
（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入x22+y2=1中,得（k2+2）y2+2ky-1=0
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,则由根与系数的关系,得y1+y2=-2kk2+2 …⑤y1y2=-1k2+2 …⑥
∵FA=λFB,∴有y1y2=λ（λ＜0）
将⑤式平方除以⑥式,得y1y2+y2y1+2=--4k2k2+2,即λ+1λ+2=--4k2k2+2
由λ∈[-2,-1],可得λ+1λ+2≤0
∴--4k2k2+2≤0,∴0≤k2≤27
∵TA+TB=（x1+x2-4,y1+y2）
∴|TA+TB|2=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=16-28k2+2+8(k2+2)2
令t=1k2+2,∵0≤k2≤27,∴716≤1k2+2≤12,即t∈[716,12]
∴|TA+TB|2=f（t）=8t2-28t+16=8（t-74）2-172
而t∈[716,12],∴f（t）∈[4,16932]
∴|TA+TB|∈[2,1328]．