已知关于x的二次方程anx^2-an+1x+1=0(n∈N)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1

题目

已知关于x的二次方程anx^2-an+1x+1=0(n∈N)的两根α,β满足6α-2αβ+6β=3,且a1=1
求数列通项公式an
求数列前n项和Sn
（注意a1=1啊!）

答案

α+β=a_{n+1}/a_n,αβ=1/a_n,从而根据条件,有6a_{n+1}-3a_n=2;从而a_{n+1}-2/3=1/2[a_n-2/3],即是数列{a_n-2/3}是以a1-2/3为首项,1/2为公比的等比数列, 进而a_n-2/3=(1-2/3)*(1/2)^{n-1},因此a_n=1/3*1/2^{n-1}+2/3;
Sn=1/3*[1+1/2+1/2^2+...+1/2^{n-1}]+2/3*n=(2n+2)/3-2/3 *1/(2^n).