在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长

题目

在等边三角形ABC中P为三角形内任意一点,AB=BC=CA=√(25+√12),CP^2=AP^2+BP^2,CP=5,求AP,BP的长

答案

以PA为边作等边三角形PAQ,使P、Q在AC的两侧.
∵△ABC、△APQ都是正三角形,∴AB＝AC、AP＝AQ、∠BAC＝∠PAQ＝∠AQP＝60°,
∴∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAQ,∴∠BAP＝∠CAQ.
由AB＝AC、AP＝AQ、∠BAP＝∠CAQ,得：△ABP≌△ACQ,∴BP＝CQ.
∵△APQ是正三角形,∴PQ＝AP,又CQ＝BP、CP^2＝AP^2＋BP^2,
∴CP^2＝PQ^2＋CQ^2,∴由勾股定理的逆定理,有：∠PQC＝90°,而∠AQP＝60°,
∴∠AQC＝∠PQC＋∠AQP＝90°＋60°＝（180°－30°）,∴cos∠AQC＝－cos30°＝－√3/2.
由余弦定理,有：AQ^2＋CQ^2－2AQ×CQcos∠AQC＝AC^2,
∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋√12＝25＋2√3,∴AP^2＋BP^2＋√3AP×BP＝25＋2√3,
又AP^2＋BP^2＝CP^2＝25,∴25＋√3AP×BP＝25＋2√3,∴AP×BP＝2.
∴AP^2＋BP^2＝（AP＋BP）^2－2AP×BP＝（AP＋BP）^2－2×2＝25,∴AP＋BP＝√29.
∵AP＋BP＝√29、AP×BP＝2,
∴由韦达定理可知：AP、BP是方程x^2－√29x＋2＝0的两根,由求根公式,得：
x＝［√29＋√（29－4×2）］/2＝（√29－√21）/2、或x＝（√28－√21）/2.
∴满足条件的AP、BP的长是：一者为（√29－√21）/2,另一者为（√28－√21）/2.