已知o为三角形abc所在平面内一点,且满足|oa|方+|bc|方=|ob|方+|ca|方=|oc|方+|ab|方,求证：ab垂直oc

题目

已知o为三角形abc所在平面内一点,且满足|oa|方+|bc|方=|ob|方+|ca|方=|oc|方+|ab|方,求证：ab垂直oc
以上oa,bc,.等均为向量!要有步骤哦!

答案

证明:假设O是三角形ABC的垂心成立,并设三边AB,AC,BC上的垂足分别是F,E,D,则有 OA^2=AE^2+OE^2 BC^2=BE^2+EC^2 则有 OA^2+BC^2 =AE^2+OE^2+BE^2+EC^2 =(AE^2+BE^2)+(OE^2+EC^2) =AB^2+OC^2 又有 OB^2=OF^2+FB^2 AC^2=AF^2+CF^2 则有 OB^2+AC^2 =OF^2+FB^2+AF^2+CF^2 =(OF^2+AF^2)+(FB^2+CF^2) =OA^2+BC^2 所以有 OA^2+BC^2=OB^2+CA^2=OC^2+AB^2 与已知条件符合,所以假设成立 所以O是三角形ABC的垂心 所以AB⊥OC