如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求证:A1C⊥面DBC1 (2)求二面角C1-AB-D的大小 (3)求AD1与面B B1 D1D所成角的大小.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求证:A1C⊥面DBC1 (2)求二面角C1-AB-D的大小 (3)求AD1与面B B1 D1D所成角的大小.
题目
如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
(1)求证:A
1
C⊥面DBC
1
(2)求二面角C
1
-AB-D的大小
(3)求AD
1
与面B B
1
D
1
D所成角的大小.
答案
(1)证明:图形如右所示:
∵BD⊥AC,BD⊥AA
1
∴BD⊥面AA
1
C
1
C,
∴BD⊥A
1
C,
同理BC
1
⊥A
1
C,
∴A
1
C⊥面DBC
1
;
(2)在正方体中,可知AB⊥BC,AB⊥BC
1
,则∠C
1
BC为二面角C
1
-AB-D的平面角,
在等腰直角三角形BCC
1
中,∠C
1
BC=45°,
所以二面角C
1
-AB-D的大小为45
0
;
(3)连接AC交BD于点O,连接OD
1
,
∵AC⊥BD,AC⊥BB
1
,
∴AC⊥平面B B
1
D
1
D,则∠AD
1
O为AD
1
与面BB
1
D
1
D所成的角,
在Rt△AOD
1
中,sin∠AD
1
O=
1
2
,
所以∠AD
1
O=30°,即所求线面角的大小为30°;
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