如图所示,摩托车做腾跃特技表演,以1.0m/s的初速度沿曲面冲上高0.8m、顶部水平的高台,若摩托车冲上高台的过程中始终以额定功率1.8kW行驶,经过1.2s到达顶部平台,接着离开平台,落至地
题目
如图所示,摩托车做腾跃特技表演,以1.0m/s的初速度沿曲面冲上高0.8m、顶部水平的高台,若摩托车冲上高台的过程中始终以额定功率1.8kW行驶,经过1.2s到达顶部平台,接着离开平台,落至地面时,恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道,并沿轨道下滑.A、B为圆弧两端点,其连线水平.已知圆弧半径为R=1.0m,人和车的总质量为180kg,特技表演的全过程中,阻力做功忽略不计.(计算中取g=10m/s
2,sin53°=0.8,cos53°=0.6).求:
(1)人和车到达顶部平台时的速度v.
(2)从平台飞出到A点,人和车运动的水平距离s.
(3)圆弧对应圆心角θ.
(4)人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力.
答案
(1)运用动能定理研究开始到顶部平台过程可知:
pt
1-mgH=
mv
2-
mv
02解得:v=3m/s
(2)由平抛运动规律可得:
H=
gt
22,s=vt
2带入数据得:s=1.2m.
(3)摩托车恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入光滑竖直圆弧轨道,落至A点时,其竖直方向的分速度
v
y=gt
2=4m/s.
设摩托车落地时速度方向与水平方向的夹角为α,则
tanα=
=
,即α=53°
所以θ=2α=106°
(4)在摩托车由最高点飞出落至O点的过程中,由动能定理可得:mgH+mgR(1-cosα)=
mv′
2-
mv
2在O点对其受力分析,运用牛顿第二定律得:N-mg=
,
代入数据解出:N=7740N.
由牛顿第三定律可知,人和车在最低点O时对轨道的压力为7740N.
答:(1)人和车到达顶部平台时的速度v是3m/s.
(2)从平台飞出到A点,人和车运动的水平距离s为1.2m.
(3)圆弧对应圆心角θ为106°.
(4)人和车运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力为7740N.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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