已知数列{an}首项a1=1,满足an+1=2an+3n,n∈N+

题目

已知数列{an}首项a1=1,满足an+1=2an+3n,n∈N+
1求证：数列{an -3n,}是等比数列,并求数列{ an }的通项公式{an}
2令bn=n(an +2n)+2n-1,求数列{bn}的前n项和Tn
3,求证：Tn-n2>3

答案

（1）、
因为：A1=1且A(n+1)=2An+3n
所以：A2=5,A3=16,A4=41
所以：A(n+1)+3(n+1)=2An+3n+(n+1)=2An+6n+3
所以：A(n+1)+3(n+1)+3=2(An+3n+3)
所以：[A(n+1)+3(n+1)+3]/(An+3n+3)=2
所以：An+3n+3=7*2^(n-1)
所以：An=7*2^(n-1)-3n-3
（2）、
因为：Bn=n(An+2n)+2n-1
所以：Bn=n(7*2^(n-1)-3n-3+2n)+2n-1
=7n*2^(n-1)-3*n^2-3n+2n-1
=7n*2^(n-1)-3*n^2-n+1
令：Sn=7*1+14*2+21*2^2+28*2^3+.+7n*2^(n-1)
所以：2Sn= 7*2 + 14*2^2+21*2^3+.+ 7(n-1)*2^(n-1)+7n*2^n
所以：Sn=7n*2^n - 7【1+2+4+8+.+2^(n-1)】
=7n*2^n -7*2^n +7
令：Cn=3*1^2 + 3*2^2 + 3*3^2 + .+ 3*n^2
=3*(1+2^2+3^2+.+n^2)
=n(n+1)(2n+1)/2
令：Dn=0+1+2+3+.+(n-1) =n(n-1)/2
所以：Tn=Sn-Cn-Dn=7n*2^n -7*2^n +7 -n(n+1)(2n+1)/2-n(n-1)/2
=7(n*2^n-2^n+1) - n^2(n+1)
（3）、
所以：Tn-n^2 =7(n*2^n-2^n+1) - n^2(n+2)
当n=1时；Tn=4>3
当n>=2时；Tn>7(n-1)*2^n -n^2(n+2)>3
所以：Tn-n^2>3
数列{an -3n,}是等比数列我实在是求不出来.
我自己做的可能有错误,还请见谅.