在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列． （1）求角B的取值范围； （2）若关于B的表达式cos2B-4sin（π4+B/2）sin（π4−B/2）+m＞0恒成立，求

题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a、b、c成等比数列．
（1）求角B的取值范围；
（2）若关于B的表达式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

答案

（1）∵b²=ac
cosB=

a2+c2−b2

2ac

≥

2ac−ac

2ac

=

1

2

当且仅当a=b=c时，cosB=

1

2

∴B∈（0，

π

3

]
（2）cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）cos（

π

4

−

B

2

）+m
=cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

+

B

2

）+m
=cos2B-2[1-cos（

π

2

+B）]+m
=2cos²B-2sinB+m-3
=2（cosB-

1

2

）²+m-

7

2

1

2

≤cosB＜1
∴2（cosB-

1

2

）²+m-

7

2

∈[m-

7

2

，m-3]
∵不等式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

−

B

2

）+m＞0恒成立．
∴m-

7

2

＞0，m＞

7

2

故m的取值范围是（

7

2

，+∞）