对于函数F(X),若存在X0＜R,使F(X0)=X0成立,则称X0为F(X)的不动点,已知函数F(X)=AX∨2 +(B+1)X+(B-1)(A≠0)

题目

对于函数F(X),若存在X0＜R,使F(X0)=X0成立,则称X0为F(X)的不动点,已知函数F(X)=AX∨2 +(B+1)X+(B-1)(A≠0)
1）当a=1,b=2时,求函数f(x)的不动点
2）
若对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点,求a的取值范围
3）在2的条件下,若Y=F(X)的图象上A,B两点的横坐标是函数F(X)的不动点,且A B两点关于y=kx+1/2a的平方+1对称,求B的最小值

答案

设y=f(x)
不动点F(x0)=x0实际上就是函数y=f(x)图像与y=x的交点.
1.当a=1,b=2时,
y=F(X)=aX^2 +(b+1)X+(b-1)=x^2+3x+1
y=x
解得x=-1,y=-1
2.f(x)=ax^2 +(b+1)x+(b-1)=x
ax^2 +bx+(b-1)=0
由题,此方程有2个不同实数解,即Δ＞0
b^2-4*a*(b-1)＞0
b^2-4ab+4a＞0
若使得上式恒成立,即关于b的二次函数b^2-4ab+4a最小值大于0
即 (4*4a-4a*4a)/4=4a-4a^2＞0
解不等式 a＜0或a＞4
3.