已知f（x）=ax2+bx+c，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，试求f（x）的表达式．

题目

已知f（x）=ax²+bx+c，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，试求f（x）的表达式．

答案

∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0），f（0）=0，
∴c=0．
又f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1
即2ax+a+b=x+1，
∴

2a＝1 a+b＝1

解得

a＝ 1 2 b＝ 1 2

，
∴f（x）=

1

2

x²+

1

2

x．

由f（0）=0，可得c=0，由f（x+1）=f（x）+x+1建立方程组可解a，b的值，进而求出f（x）的表达式．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题为二次函数的解析式的求解，再根据函数的解析式求其单调区间，属基础题．