在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形ABC的外接圆半径R=√3,且满足

题目

在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,三角形ABC的外接圆半径R=√3,且满足
cosC/cosB=(2sinA-sinC)/sinB问：1.求角B和边长b的大小
2.求三角形ABC的面积的最大值

答案

由cosC/cosB=(2sinA-sinC)/sinB,
得:cosCsinB=(2sinA-sinC)cosB (1)
由正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R=2根号3.
得sinC=c/(2根号3),sinA=a/(2根号3),
sinB=b/(2根号3)..
代入得(1):cosC*b/(2根号3)=
=[(2*a/(2根号3)-c/(2根号3)]*cosB
整理:b*cosC=2a*cosB-c*cosB
变形:b*cosC+c*cosB=2a*cosB
由定理:b*cosC+c*cosB=a.
上式变为:a=2a*cosB
求得cosB=1/2,B=60度.
进而:b=(2根号3)*sinB=3.
在其外接圆内,b=AC=3为底边,角ABC=60度的三角形中,以等腰三角形的高最大.即此时三角形面积最大.这时三角形为等边三角形.
面积最大值为:9*(根号3)/4