求函数y=sinx*cosx+sinx+cosx的最值,并指出此时的x所取的集合

题目

求函数y=sinx*cosx+sinx+cosx的最值,并指出此时的x所取的集合

答案

记住,sinxcosx与sinx+cosx以至sinx－cosx都不是独立的,它们背后可以靠平方和为1这个关系联系起来,所以遇到这类问题注意应用这层关系进行换元
∴(sinx+cosx)^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
令a=sinx+cosx
则sinxcosx=(a^2-1)/2
y=(a^2-1)/2+a=1/2(a+1)^2-1
a=sinx+cosx=√2*sin(x+π/4)
所以-√2<=a<=√2
所以a=√2,y最大1/2+√2
此时√2*sin(x+π/4)=√2
sin(x+π/4)=1
x+π/4=2kπ+π/2
x=2kπ+π/4
所以
x=2kπ+π/4,y最大=1/2+√2