在△ABC中，1/2cos2A=cos2A-cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，求S△ABC．

题目

在△ABC中，

1

2

cos2A=cos2A-cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，sinB=2sinC，求S_△ABC．

答案

（I）由已知得：

1

2

(2cos2A-1)=cos2A-cosA，…（2分）
∴cosA=

1

2

．…（4分）
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．…（6分）
（II）由

b

sinB

=

c

sinC

可得：

sinB

sinC

=

b

c

=2…（7分）
∴b=2c…（8分）
∵cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4c2+c2-9

4c2

=

1

2

…（10分）
∴c=

3

，b=2

3

…（11分）
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2

3

×

3

×

3

2

=

3 3

2

．…（13分）

（I）利用条件，结合二倍角公式，即可求得角A的大小；
（II）利用正弦定理，求得b=2c，再利用余弦定理，即可求得三角形的边，从而可求三角形的面积．

本题考点：解三角形；正弦定理；余弦定理．

考点点评：本题考查二倍角公式的运用，考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．