如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点, （1）求证：AC⊥BC1； （2）求

题目

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点, （1）求证：AC⊥BC1； （2）求
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求三棱锥C1-CDB1的体积．

答案

(1)
易知AC⊥BC（RT三角形）
易知CC1⊥AC（由线面垂直得线线垂直）
因BC与CC1相交于平面BCC1B1
即AC⊥平面BCC1B1
BC1属于平面BCC1B1
所以AC⊥BC1（由线面垂直得线线垂直）
 
(2)
取A1B1中点D1,连接AD1、C1D1
易知AD1//B1D且C1D1//CD
因AD1、C1D1交于平面AC1D1
又B1D、CD交于平面CDB1
则平面AC1D1//平面CDB1
而AC1属于平面AC1D1
则AC1//平面CDB1（由面面平行得线面平行）
 
(3)
三棱锥C1-CDB1的体积与三棱锥D-CB1C1等体积
过D作DF⊥BC交于F,易知DF⊥平面CB1C1
于是DF为底面CB1C1的高
由中位线性质易知DF=AC/2=3/2
S[三角形CB1C1]=S[正方形BCC1B1]/2=8
则V[三棱锥D-CB1C1]=1/3*S[三角形CB1C1]*DF=4