x^y+1=z的质数解

题目

x^y+1=z的质数解
不定方程的解

答案

z=2时,x^y=1,x,y无解；
z≠2时,z为奇数,所以x^y为偶数
所以x只能是2
2^(2n+1)+1
=2*2^2n+3-2^1
=2(2^2n-1)+3
=2*(2^n+1)(2^n-1)+3
因为2^n为偶数,2^n-1,2^n,2^n+1是连续三个自然数,那么
2^n+1和2^n-1必有一个能被3整除
所以2的奇数次方+1必能被3整除,所以y只能是2
x=2,y=2,z=5