已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (Ⅰ)若M为CB中点,证明:MA∥平面CNB1; (Ⅱ)求这个几何体的体积.
题目
已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(Ⅰ)若M为CB中点,证明:MA∥平面CNB
1;
(Ⅱ)求这个几何体的体积.
答案
(Ⅰ)证明:取CB
1的中点P,连MP,∵已知M为CB中点,∴MP∥BB
1且MP=
BB
1由三视图可知,四边形ABB
1N为直角梯形,∴AN∥BB
1且AN=
BB
1(2分)
∴MP∥AN且MP=AN,∴四边形ANPM为平行四边形,∴AM∥NP,(4分)
又AM⊄平面CNB
1,PN⊂平面CNB
1,∴AM∥平面CNB
1(6分)
(Ⅱ)∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
∴BA,BC,BB
1两两垂直.
∴BC⊥BA,BC⊥B
1B且BB
1与BA相交于B,
∴BC⊥平面AB
1BN,BC为三棱锥C-ABN的高(8分)
取B
1B的中点Q,连QN,∵四边形ABB
1N为直角梯形且AN=
BB
1=4,
四边形ABQN为正方形,NQ⊥BB
1,又BC⊥平面ABB
1N,∵QN⊂平面ABB
1N∴BC⊥NQ,且BC与BB
1相交于B,∴NQ⊥平面C
1B
1BC,NQ为四棱锥N-CBB
1C
1的高(10分)
∴几何体ABC-NB
1C
1的体积
V=VC−ABN+VN−CBB1C1=CB•S△ABN+NQ•SBCC1B1=
×4×
×4×4+
×4×4×8=
(12分)
举一反三
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